Parameterlinien

Im allgemeinen kann jeder Punkt  P( x ; y ; z )  einer Fläche F (im Raum) mit Hilfe von Funktionen fx, fy und fz der Form

   x = fx(u,v)     y = fy(u,v)     z = fz(u,v)          (1)

innerhalb des Definitionsbereiches der Parameter u und v beschrieben werden. Man nennt (1) Parameterdarstellung der Fläche F.

Die Linien (Kurven) auf der Fläche F, die dadurch entstehen, dass = const. (v  veränderlich) bzw. = const. (u  veränderlich) gehalten wird, heißen in der Flächentheorie allgemein Parameterlinien oder speziell v-Linien bzw. u-Linien. Die v-Linien bzw. u-Linien spannen auf der Fläche ein Parameternetz auf. Man kann sagen, dass die u- und v-Linien den Geraden x = const. und y = const. eines kartesischen Koordinatensystems entsprechen.

Beispiel:

Die Parameterdarstellung einer Fläche ist vom Beispiel der Erdoberfläche bekannt (Abbildung aus [3] unter Literatur).

geographische Koordinaten

Die Punkte der Erdkugel können durch zwei Parameter, die sog. geographische Länge u und die geographische Breite v, festgelegt werden (siehe obige Abbildung). Durch die u-Linie  = 0  wird der Äquator beschrieben, durch   / 2  wird der Nordpol und durch  = -  / 2  der Südpol erfaßt.

Hier zeigt sich jedoch ein gewisser Nachteil der Parameterdarstellung: Den Polen ist keine eindeutige geographische Länge u zuzuordnen. Die Pole sind damit durch das Parameternetz ausgezeichnete Punkte, was geometrisch nicht zu begründen ist, da auf der Kugel alle Punkte gleichberechtigt sind.