Zur Beschreibung von Parameterdarstellungen treffen wir die folgenden Annahmen:
fx, fy, fz sind stetige Funktionen in dem jeweils betrachteten Intervall I reeller Zahlen bzw. reeller Zahlenpaare. x, y, z sind ebenfalls reelle Zahlen.
Im Folgenden werden drei für die Kartographie wichtigen Parameterdarstellungen erläutert.
Die Menge aller Punkte P = ( x ; y ) mit
x = fx(t) und
y = fy(t) für t aus I (1)
ist eine ebene Kurve. Man nennt (1) eine Parameterdarstellung der ebenen Kurve.
Anmerkungen:
Die reelle Zahl t heißt Parameter der ebenen Kurve. Man kann t als Zeit deuten; dann ist P = ( x ; y ) = ( fx(t) ; fy(t) ) der Ort in der Ebene, an dem sich ein Wanderer auf der ebenen Kurve zur Zeit t befindet.
Beispiel:
Wählt man in (1) die stetigen Funktionen
fx(t) = a1 + b1 * t
fy(t) = a2 + b2 * t
mit reellen Koeffizienten a1, a2 und b1, b2, dann erhält man die Parameterdarstellung einer Geraden in der Ebene.
Die Menge aller Punkte P = ( x ; y ; z ) mit
x = fx(t) ,
y = fy(t) und
z = fz(t) für t aus I (2)
ist eine Raumkurve. Man nennt (2) eine Parameterdarstellung der Raumkurve.
Anmerkungen:
Die reelle Zahl t heißt Parameter der Raumkurve. Analog Ziffer 1 kann auch hier t als Zeit gedeutet werden.
Beispiel:
Wählt man in (2) die stetigen Funktionen
fx(t) = a1 + b1 * t
fy(t) = a2 + b2 * t
fz(t) = a3 + b3 * t
mit reellen Koeffizienten a1, a2, a3 und b1, b2, b3, dann erhält man die Parameterdarstellung einer Geraden im Raum.
Die Menge aller Punkte P = ( x ; y ; z ) mit
x = fx(u,v) ,
y = fy(u,v) und
z = fz(u,v) für (u,v) aus I (3)
ist eine Fläche im Raum. Man nennt (3) eine Parameterdarstellung der Fläche.
Anmerkungen:
Die reellen Zahlen u und v heißen Parameter der Fläche im Raum.
Beispiele:
Wählt man in (3) die stetigen Funktionen
fx(u,v) = a1 + b1 * u + c1 * v
fy(u,v) = a2 + b2 * u + c2 * v
fz(u,v) = a3 + b3 * u + c3 * v
mit reellen Koeffizienten a1, a2, a3 und b1, b2, b3 sowie c1, c2, c3, dann erhält man die Parameterdarstellung einer Ebene im Raum.
Wählt man in (3) für - / 2 ≤ v ≤
/ 2 und -
≤ u ≤
fx(u,v) = R * cos(u) * cos(v)
fy(u,v) = R * sin(u) * cos(v)
fz(u,v) = R * sin(v)
mit dem reellen Koeffizienten R, dann erhält man die Parameterdarstellung der Kugeloberfläche im Raum. Dabei ist R der Kugelradius. Der Parameter v kann als geographische Breite und der Parameter u als geographische Länge gedeutet werden.
Siehe auch | |
![]() |
Parameterlinien |