Die Verzerrung ist ein Maß für die in Kartennetzentwürfen auftretende geometrische Deformation bei der Abbildung der sphärischen Erdoberfläche auf eine ebene Fläche, die Karte. Die Verzerrung ist ein Kriterium für die Güte von Kartennetzentwürfen.
Nach dem THEOREMA EGREGIUM von C.F. GAUSS ist es unmöglich, Karten zu konstruieren, die ein exaktes Abbild der Erdoberfläche darstellen. Einzelne Kurven dagegen können längentreu abgebildet werden.
Ziel ist es, die möglichen Verzerrungen in erträglichen Grenzen zu halten.
Bei der Abbildung einer Fläche F auf eine Fläche F* gibt es in jedem Flächenpunkt zwei Hauptverzerrungsrichtungen. Diese Richtungen stehen senkrecht aufeinander. Wir bezeichnen die beiden Hauptverzerrungen in einem Flächenpunkt mit a und b . Man nennt sie mitunter auch Hauptmaßstäbe der Abbildung. a und b werden über die GAUSSschen Fundamentalgrößen der Flächen F und F* definiert (vgl. etwa [4] unter Literatur).
Zur Veranschaulichung der Verzerrungsverhältnisse dient die Tissot'sche Indikatrix.
Dabei betrachten wir das Bild eines infinitesimal kleinen Kreises mit Radius 1 auf dem Urbild (der Kugel oder des Rotationsellipsoides). Das Bild des genannten Kreises stellt sich als Ellipse mit großer Halbachse a und kleiner Halbachse b heraus (siehe Abbildung). Man nennt die Tissot'sche Indikatrix auch Verzerrungsellipse.
Bei längentreuen Abbildungen gilt: | a = 1 oder b = 1 . |
Bei winkeltreuen Abbildungen gilt: | a = b . |
Bei flächentreuen Abbildungen gilt: | a * b = 1 . |
Zusätzlich zu den Hauptmaßstäben a und b als maximale und minimale Längenverzerrung in einem Punkt Q werden auch noch die Längenverzerrungen h und k in Q definiert (vgl. etwa [4] unter Literatur): h ist die Längenverzerrung entlang des Meridians und k die Längenverzerrung entlang des Breitenkreises durch Q.
Stehen die Parameterlinien der Bildfläche senkrecht aufeinander (wie z.B. bei den echten Entwürfen), so stimmen h und k mit a und b überein; es gilt hierbei:
im Falle h > k ist a = h und b = k,
im Falle k > h ist a = k und b = k.
Siehe auch | |
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Herleitung von Zylinderentwürfen |