Parameterdarstellung

Zur Beschreibung von Parameterdarstellungen treffen wir die folgenden Annahmen:

fx, fy, fz  sind stetige Funktionen in dem jeweils betrachteten Intervall  I  reeller Zahlen bzw. reeller Zahlenpaare.  x, y, z  sind ebenfalls reelle Zahlen.

Im Folgenden werden drei für die Kartographie wichtigen Parameterdarstellungen erläutert.

1. die Parameterdarstellung einer Kurve in der Ebene

Die Menge aller Punkte P = ( x ; y )  mit

x = fx(t)     und
y = fy(t)     für  t aus I          (1)

ist eine ebene Kurve. Man nennt (1) eine Parameterdarstellung der ebenen Kurve.

Anmerkungen:

Die reelle Zahl  t  heißt Parameter der ebenen Kurve. Man kann t als Zeit deuten; dann ist P = ( x ; y ) = ( fx(t) ; fy(t) )  der Ort in der Ebene, an dem sich ein Wanderer auf der ebenen Kurve zur Zeit t befindet.

Beispiel:

Wählt man in (1) die stetigen Funktionen

fx(t)  =  a1  +  b1 * t
fy(t)  =  a2  +  b2 * t

mit reellen Koeffizienten  a1, a2  und  b1, b2,  dann erhält man die Parameterdarstellung einer Geraden in der Ebene.

2. die Parameterdarstellung einer Kurve im dreidimensionalen Raum

Die Menge aller Punkte P = ( x ; y ; z )  mit

x = fx(t)     ,
y = fy(t)     und
z = fz(t)     für  t aus I          (2)

ist eine Raumkurve. Man nennt (2) eine Parameterdarstellung der Raumkurve.

Anmerkungen:

Die reelle Zahl  t heißt Parameter der Raumkurve. Analog Ziffer 1 kann auch hier t als Zeit gedeutet werden.

Beispiel:

Wählt man in (2) die stetigen Funktionen

fx(t)  =  a1  +  b1 * t
fy(t)  =  a2  +  b2 * t
fz(t)  =  a3  +  b3 * t

mit reellen Koeffizienten  a1, a2, a3  und  b1, b2, b3,  dann erhält man die Parameterdarstellung einer Geraden im Raum.

3. die Parameterdarstellung einer Ebene im dreidimensionalen Raum

Die Menge aller Punkte P = ( x ; y ; z )  mit

x = fx(u,v)     ,
y = fy(u,v)     und
z = fz(u,v)     für  (u,v) aus I          (3)

ist eine Fläche im Raum. Man nennt (3) eine Parameterdarstellung der Fläche.

Anmerkungen:

Die reellen Zahlen und v heißen Parameter der Fläche im Raum.

Beispiele:

Wählt man in (3) die stetigen Funktionen

fx(u,v)  =  a1  +  b1 * u  +  c1 * v
fy(u,v)  =  a2  +  b2 * u  +  c2 * v
fz(u,v)  =  a3  +  b3 * u  +  c3 * v

mit reellen Koeffizienten  a1, a2, a3  und  b1, b2, b3  sowie  c1, c2, c3, dann erhält man die Parameterdarstellung einer Ebene im Raum.

Wählt man  in (3)  für  -  / 2 ≤ ≤  / 2  und  -  ≤ ≤ 

fx(u,v)  =  R  *  cos(u)  *  cos(v)
fy(u,v)  =  R  *  sin(u)  *  cos(v)
fz(u,v)  =  R  *  sin(v)

mit dem reellen Koeffizienten R,  dann erhält man die Parameterdarstellung der Kugeloberfläche im Raum. Dabei ist R der Kugelradius. Der Parameter v kann als geographische Breite und der Parameter u als geographische Länge gedeutet werden.

  
Siehe auch
  
Parameterlinien Parameterlinien