Im allgemeinen kann jeder Punkt P( x ; y ; z ) einer Fläche F (im Raum) mit Hilfe von Funktionen fx, fy und fz der Form
x = fx(u,v) y = fy(u,v) z = fz(u,v) (1)
innerhalb des Definitionsbereiches der Parameter u und v beschrieben werden. Man nennt (1) Parameterdarstellung der Fläche F.
Die Linien (Kurven) auf der Fläche F, die dadurch entstehen, dass u = const. (v veränderlich) bzw. v = const. (u veränderlich) gehalten wird, heißen in der Flächentheorie allgemein Parameterlinien oder speziell v-Linien bzw. u-Linien. Die v-Linien bzw. u-Linien spannen auf der Fläche ein Parameternetz auf. Man kann sagen, dass die u- und v-Linien den Geraden x = const. und y = const. eines kartesischen Koordinatensystems entsprechen.
Beispiel:
Die Parameterdarstellung einer Fläche ist vom Beispiel der Erdoberfläche bekannt (Abbildung aus [3] unter Literatur).
Die Punkte der Erdkugel können durch zwei Parameter, die sog. geographische Länge u und die geographische Breite v, festgelegt werden (siehe obige Abbildung). Durch die u-Linie v = 0 wird der Äquator beschrieben, durch v = / 2 wird der Nordpol und durch v = -
/ 2 der Südpol erfaßt.
Hier zeigt sich jedoch ein gewisser Nachteil der Parameterdarstellung: Den Polen ist keine eindeutige geographische Länge u zuzuordnen. Die Pole sind damit durch das Parameternetz ausgezeichnete Punkte, was geometrisch nicht zu begründen ist, da auf der Kugel alle Punkte gleichberechtigt sind.